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Bac General
Centre d’examen : Metropole
Matiere : Mathematiques
Annee : 2026
Session : Normale
Duree : 4 heures
Repere : 26-MATJ1ME1
Calculatrice : autorisée avec mode examen actif ; calculatrice sans mémoire « type collège » autorisée
Exercice 1 (5 points) – Probabilités
Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée avec réservation de cabine et véhicule.
Partie A : Étude probabiliste avec 30% de réservation véhicule, 80% de cabine parmi ceux-ci, 75% de cabine au total.
Partie B : Variables aléatoires X (suppléments : 100€ cabine, 70€ véhicule) avec loi donnée, Y (extras) avec E(Y)=104 et V(Y)=1686. Réduction de 40% sur tout, étude de Z=0,6(X+Y). Application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Exercice 2 (4 points) – Vrai/Faux
1. Géométrie dans l’espace : droite (d), points A(3;0;2) et B(2;1;-3), plan (P) d’équation -x+y-5z-0,5=0, point C(1,5;-3;-1).
a. Le plan (P) est orthogonal à (AB) et passe par le milieu de [AB]
b. Les droites (d) et (AB) sont sécantes
c. Mesure de l’angle ACB arrondie à 10⁻¹ égale à 70,5°
2. Escape game : digicode A avec 3 symboles différents ordonnés parmi 8, digicode B avec 4 symboles différents non ordonnés parmi 8. Titouan a plus de chances d’ouvrir sa porte que Clotilde.
Exercice 3 (6 points) – Équation différentielle et suites
Étude d’un système de chauffage se déclenchant à ≤18°C et s’éteignant à 20°C.
Partie A : Phase de chauffage. T(t) solution de y’=-0,035y+0,91 avec T(0)=18. Expression T(t)=26-8e^(-0,035t). Temps pour atteindre 20°C. La température peut-elle dépasser 28°C ?
Partie B : Phase de refroidissement modélisée par u₀=20 et u_{n+1}=0,965u_n+0,35+0,07e^(-0,1n). Montrer u₁=19,72. Démonstration par récurrence que u_n>10. Convergence de la suite. Limite ℓ solution de x=0,965x+0,35. Programme Python pour déterminer quand le chauffage se remet en marche.
Exercice 4 (5 points) – Fonction avec logarithme népérien
Étude de f(x)=a+b·ln(x+1)/(x+1) sur ]-1;+∞[.
Partie A : Détermination de a et b à partir de la courbe, tangente au point A(0;1), f'(0) et f »(1).
Partie B : Avec f(x)=1+4ln(x+1)/(x+1). Asymptote y=1. Résolution de 1-ln(x+1)>0. Tableau de variations complet. Équation f(x)=1,5 sur [2;+∞[. Calcul intégral : ∫₀²[ln(x+1)/(x+1)]dx=(1/2)(ln3)² et aire du domaine délimité.