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Bac General
Centre d’examen : Polynesie
Matiere : Mathematiques
Annee : 2026
Session : Normale
Duree : 4 heures
Repere : 26-MATJ1PO1
Calculatrice : autorisée avec mode examen actif
Exercice 1 (5 points)
Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d’autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent 80% du stock de l’école.
Partie A
1. Compléter l’arbre pondéré avec les données : P(M)=0,8, P_M(B)=0,75, P_{\bar{M}}(B)=0,60
2. Sachant P(\bar{M} ∩ R) = 0,05, interpréter et démontrer que P_{\bar{M}}(C)=0,15
3. Vérifier si au moins 3/4 des planches sont en bon état
Partie B
Urne avec 5 boules noires et n boules rouges. Tirage simultané de 2 boules.
1. Justifier que p = [\binom{5}{2} + \binom{n}{2}] / \binom{n+5}{2}
2. Montrer que p = [20 + n(n-1)] / [(n+5)(n+4)]
3. Déterminer n pour que p < 1/2
Exercice 2 (5 points)
Affirmations à justifier (vraies ou fausses):
1. f(x) = (x+1)e^{-x}, limite en +∞ est +∞
2. g(x) = xe^x est convexe sur [-2;+∞[
3. ∫_0^π x sin x dx = -π
4. h(x) = -3/2 e^{2x} + 5/2 est solution de y’=2y-5 avec h(0)=1
5. La fonction Python mystere(5) renvoie 120
Exercice 3 (5 points)
f(x) = ln(3x² + 1) sur [0;+∞[
Partie A
u_0 = 2, u_{n+1} = ln(3u_n² + 1)
1. Calculer u_1
2. Conjectures sur variation et convergence
3. Démontrer 2 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 4
4. Déduire convergence
Partie B
g(x) = ln(3x² + 1) – x sur [0;+∞[
1. Démontrer g'(x) = (-3x² + 6x – 1)/(3x² + 1)
2. g strictement décroissante sur [2;4]
3. g(x)=0 admet solution unique α sur [2;4], valeur approchée à 10^{-2}
4. Justifier ℓ = α
Exercice 4 (5 points)
Repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})
Points A(1;2;-1), B(0;3;2), C(-2;4;0), D(8;2;-11)
1. a. A, B, C définissent un plan
b. \vec{n}(5,8,-1) normal au plan (ABC)
c. Équation: 5x + 8y – z – 22 = 0
d. D n’appartient pas au plan
2. Droite Δ orthogonale à (ABC) passant par D:
x = 8 + 5t, y = 2 + 8t, z = -11 – t
a. Représentation paramétrique justifiée
b. Point E d’intersection: E(11/2; -2; -21/2)
c. Distance DE exacte
3. H(-2/3; 10/3; 4/3), droite (BC): x=-2k, y=3+k, z=2-2k
a. H est projeté orthogonal de A sur (BC)
b. Volume tétraèdre ABCD = 1/3 × B × h = 10 (utiliser résultats de calcul formel)