Bac Général
Centre d’examen : Amérique du Nord
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2021
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 21-MATJ1AN1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points) :
Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à 10-3.
Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
- si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est 0,98 (sensibilité du test) ;
- si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est 0,995 (spécificité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On note 𝐷 l’événement « l’athlète est dopé » et 𝑇 l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement 𝐷 est égale à 0,08.
Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points)
Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite (un) définie par : $$\begin{cases} u_0 = 0,6 \\ u_{n+1} = 0,75 \, u_n \left(1 – 0,15 \, u_n \right) \end{cases}$$
où, pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020+n.
Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points) :
Les questions 1 à 5 de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
On considère un cube ABCDEFGH.Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].
Exercice A au choix du candidat (5 points) :
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justifiera chaque réponse.
Affirmation 1 : Pour tous réels a et b, $$\left(e^{a+b}\right)^2 = e^{2a} + e^{2b}.$$
Exercice B au choix du candidat (5 points) :
Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe Cf représentative d’une fonction f, deux fois dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[.
La courbe Cf admet une tangente horizontale T au point A(1, 4).