Spécialité Mathématiques Amérique du Nord Jour 1 Bac Général 2022

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Bac Général
Centre d’examen : Amérique du Nord
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2022
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 22-MATJ1AN1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée

Extrait :
Exercice 1 (7 points) :
Chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, s’il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

Lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur cinquante alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare, Paul rate son train une fois sur dix.
On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul se rend à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
On note :
• V l’événement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare » ;
• R l’événement « Paul rate son train ».

Exercice 2 (7 points)
Dans cet exercice, on considère la suite T_n définie par :
T₀= 180 et, pour tout entier naturel 𝑛, T_n+1 = 0,955 T_n + 0,9.

1.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, T_n ≥ 20.

Exercice 3 (7 points) :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $$(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$$ d’unité 1 cm, on considère les points suivants :
J(2,0,1)J(2, 0, 1), K(1,2,1)K(1, 2, 1) et L(−2,−2,−2)L(-2, -2, -2).

1. a. Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

Exercice 4 (7 points) :
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

1. Affirmation 1 : Pour tout réel x : $$1 – \frac{1 – e^x}{1 + e^x} = \frac{2}{1 + e^{-x}}$$