Bac Général
Centre d’examen : Asie
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2021
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 21MATJ2JA1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=(x2−2x−1)ex.
A. La fonction dérivée de f est la fonction définie par : f′(x)=(2x−2)ex.
Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points)
On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci-dessous.
Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L est défini par : $$\vec{DL} = \frac{3}{2} \vec{AI}$$
N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points) :
Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs ! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille 3 × 3 sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.
Exercice A au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés
— Suites
— Équations différentielles
Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres. Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.
Partie I : modèle discret
Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.
Pour tout entier naturel n, on note un la taille, en mètres, du bambou n jours après le début de l’observation. On a ainsi u0=1.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité : un+1=un+0,05(20−un) pour tout entier naturel nn.
Exercice B au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés
— Suites, étude de fonction
— Fonction logarithme
Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]1;+∞[ par : f(x)=x−ln(x−1).
On considère la suite (un) de terme initial u0=10 et telle que : un+1=f(un) pour tout entier naturel n.
Partie I :
La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite (un).