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Bac General
Classe : Terminale
Centre d’examen : Amerique du Nord
Matiere : Mathematiques
Annee : 2026
Session : Normale
Duree de l’epreuve : 4 heures
Repere de l’epreuve : 26-MATJ1AN1
Calculatrice : autorisee avec mode examen
## Exercice 1 (6 points) – Probabilités et statistiques
Étude d’une plateforme de diffusion musicale avec trois types d’abonnements (Étudiant, Classique, Famille) et une option « Écoute hors-ligne ».
**Partie A** : Arbre de probabilités, calculs de probabilités conditionnelles
**Partie B** : Loi binomiale avec n=8 abonnés, détermination de la taille d’échantillon pour atteindre 99,9% de probabilité
**Partie C** : Variable aléatoire Y représentant le montant payé mensuellement, calcul de l’espérance (10,475€), variance, et application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
## Exercice 2 (4 points) – Suites et équations différentielles
Étude de la prolifération de la perche-soleil (espèce envahissante) dans un étang avec 4000 individus initialement.
**Partie A** : Modèle discret avec suite (uₙ) définie par u₀=4 et uₙ₊₁=4-4/uₙ. Étude de convergence vers ℓ=2, script Python pour déterminer le temps nécessaire
**Partie B** : Modèle continu avec équation différentielle y’+y=2, solution p(t)=2e⁻ᵗ+2. Question sur l’élimination à long terme de l’espèce
## Exercice 3 (5 points) – Géométrie dans l’espace
Étude d’une pyramide SABCD à base carrée avec AB=BC=CD=DA=OS=2 cm dans un repère orthonormé (O;OI,OJ,OK).
**Partie A** : Coordonnées de points, produit scalaire SC⃗·SB⃗, mesure de l’angle BSC
**Partie B** : Détermination de la distance du point O au plan (SBC) par la méthode du vecteur normal, équation cartésienne 2y+z-2=0, représentation paramétrique, calcul de H et distance = 2√5/5 cm
**Partie C** : Méthode alternative par calcul de volume. Volume pyramide OCBS = 2/3 cm³, aire triangle SBC, retrouver la distance 2√5/5 cm
## Exercice 4 (5 points) – Étude de fonction
Étude de la fonction f(x)=5ln(x²+1)-3x définie et dérivable sur ℝ.
1. Conjecture graphique sur convexité/concavité
2. Limites : lim(x→-∞) f(x) et lim(x→+∞) f(x)
3. Factorisation pour x>0 : f(x)=x(10(ln x)/x – 3)+5ln(1+1/x²)
4. Dérivée f'(x)=(-3x²+10x-3)/(x²+1), tableau de variations
5. Dérivée seconde f »(x)=(-10x²+10)/(x²+1)², étude de convexité, équation de la tangente au point A(1), inégalité ln(x²+1)≤x+ln(2)-1 pour x≥1