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Bac General
Centre d’examen : Metropole
Matiere : Mathematiques
Annee : 2026
Session : Normale
Duree : 4 heures
Repere : 26-MATJ2ME1
Calculatrice : autorisée avec mode examen / autorisée sans mémoire type collège
Exercice 1 (5 points)
Dans le repère orthonormé \( (O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \), on considère les points :
\( A(2\,;1\,;1) \), \( B(3\,;-2\,;0) \), \( C(0\,;-1\,;1) \)
et \( D(0\,;0\,;2) \).
1. Montrer que les points \( A \), \( B \) et \( C \) définissent un plan.
2.
a. Montrer que le vecteur \( \vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix} \) est normal au plan \( (ABC) \).
Exercice 2 (5 points)
Un bassin destiné à l’élevage des truites contient 30 000 litres d’eau, régulièrement renouvelée.
Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.
On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l’eau par une substance polluante à l’aide de deux modèles différents.
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A : modèle discret
On note \( V_n \) le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, \( n \) heures après le début du phénomène de pollution. On a ainsi \( V_0=0 \).
On admet que pour tout entier naturel \( n \), \( V_{n+1}=0,995V_n+6 \).
1. Calculer \( V_1 \) et \( V_2 \).
Exercice 3 (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On désigne par « musiciens professionnels » l’ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.
1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).
Cette étude indique que :
• \( 52\ \% \) des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
• parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, \( 32\ \% \) sont des femmes ;
• \( 20\ \% \) des musiciens professionnels sont des femmes.
Exercice 4 (6 points)
Partie A
Soit \( f \) une fonction définie et dérivable sur l’intervalle \( [0\,;+\infty[ \) dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative \( C_f \) dans un repère orthogonal. On note \( f’ \) sa fonction dérivée.
On précise que :
• la courbe \( C_f \) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point \( C \) d’abscisse \( 1 \) ;
• la tangente \( T_A \) à la courbe \( C_f \) au point \( A\left(\frac{1}{2}\,;0\right) \) passe par le point \( B(1\,;e^2) \).
1. À l’aide du graphique ci-contre :
a. Donner \( f'(1) \).
b. Donner la solution de l’équation \( f(x)=0 \) sur l’intervalle \( [0\,;3] \).
2. Déterminer \( f’\left(\frac{1}{2}\right) \).
Correction APMEP