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Bac General
Centre d’examen : Polynesie
Matiere : Mathematiques
Annee : 2026
Session : Normale
Duree : 4 heures
Repere : 26-MATJ2PO1
Calculatrice : autorisee
Exercice 1. (5 points)
Dans cet exercice, on s’intéresse à la part des filles et des garçons s’orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Dans une académie donnée, la population est constituée d’élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d’orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.
Les répartitions sont les suivantes :
• \( 40\ \% \) sont des filles ; \( 60\ \% \) sont des garçons ;
• parmi les filles, \( 33,75\ \% \) envisagent des études d’ingénieur ;
• parmi les garçons, \( 54,25\ \% \) envisagent des études d’ingénieur.
Exercice 2. (5 points)
Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère la fonction \( f \) définie pour tout \( x\in[4\,;10] \) par \( f(x)=\ln(8x^3-1) \).
On admet que la fonction \( f \) est dérivable sur \( [4\,;10] \) et on note \( f’ \) sa fonction dérivée.
1. Montrer pour tout \( x\in[4\,;10] \), on a :
\( f'(x)=\frac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \).
2. a. En déduire que \( f \) est croissante sur \( [4\,;10] \).
b. Montrer que, pour tout \( x\in[4\,;10] \), on a :
\( 4\leq f(x)\leq 10 \).
Exercice 3. (5 points)
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal \( (O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \), on considère les points \( A(-1\,;1\,;1) \), \( B(1\,;-6\,;-1) \) et \( C(-5\,;2\,;3) \).
1. a. Démontrer que les points \( A \), \( B \) et \( C \) ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le vecteur \( \vec{n}\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix} \) est normal au plan \( (ABC) \).
c. En déduire que le plan \( (ABC) \) admet pour équation cartésienne :
\( 6x-2y+13z-5=0 \).
Exercice 4. (5 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. On considère la fonction \( f \) définie pour tout \( x\in\mathbb{R} \) par \( f(x)=xe^{x^2} \).
Affirmation 1 : \( f \) est concave sur \( ]-\infty\,;0] \).
2. Un refuge spécialisé accueille 24 rapaces numérotés de 1 à 24. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d’administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de 1 à 3, constitués chacun de 8 rapaces.
Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes 1 à 3 est :
\( \frac{24!}{(8!)^3} \).