Bac Général
Centre d’examen : Asie
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2025
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 25-MATJ2G11
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 (6 points) :
On se propose de comparer l’évolution d’une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au 1 er janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.
Partie A
Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le milieu A.On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est modélisée par une suite géométrique (un) de premier terme Uo = 6 et de raison 0,93. Pour tout entier naturel n, Un représente la population au 1er janvier de l’année 2025 +n, exprimée en millier d’individus.
1. Donner, selon ce modèle, la population au 1 er janvier 2026.
2. Pour tout entier naturel n, exprimer Un en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Exercice 2 (6 points)
Partie A
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
$$f(x) = \frac{1}{a + e^{-bx}}$$
où a et b sont deux constantes réelles strictement positives.
On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ .
Exercice 3 (4 points) :
Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et’de transmettre des messages et d’autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie, on s’intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, « gP3g » est une telle séquence.
Dans une séquence, l’ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 »et « 5C2m » ne sont pas identiques.
Exercice 4 (5 points) :
Partie A
On se place dans un repère orthonormé $$(O\,; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$$ de l’espace.
On considère les points : A(1 ;0 ;3), B(−2 ;1 ;2) et C(0 ;3 ;2).
1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Soit $$\vec{n}$$ le vecteur de coordonnées $$(1\,;\,-1\,;\,4)$$. Vérifier que le vecteur $$\vec{n}$$ est orthogonal au plan (ABC).