Spécialité Mathématiques Métropole Candidat libre Jour 2 Bac Général 2021

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Bac Général
Centre d’examen : Métropole Candidat libre
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2021
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 21-MATJ2ME2
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée

Extrait :
Exercice 1 commun à tous les candidats (4 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗,𝑗⃗, 𝑘⃗⃗).
On considère :

La droite 𝒟 passant par les points 𝐴(1; 1; −2) et 𝐵(−1; 3; 2).

La droite 𝒟′ de représentation paramétrique : {
𝑥 = −4 + 3𝑡
𝑦 = 6 − 3𝑡
𝑧 = 8 − 6𝑡
avec 𝑡 ∈ ℝ.

Le plan 𝒫 d’équation cartésienne 𝑥 + 𝑚 𝑦 − 2 𝑧 + 8 = 0 où 𝑚 est un nombre réel.

Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points)
Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.
Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.
On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
Ce test possède les caractéristiques suivantes.

• Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
• Lorsque le chat n’est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.

Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points) :
On considère la suite (u_n) définie par : u₀=1 et, pour tout entier naturel n, $$u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}$$

Exercice A au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Fonction logarithme ; dérivation.
Partie I
On désigne par ℎ la fonction définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :
$$h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x^2}$$
On admet que la fonction ℎ est dérivable sur ]0; +∞[ et on note ℎ′ sa fonction dérivée.

Exercice B au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Fonction exponentielle ; dérivation ; convexité.
PARTIE I
On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée 𝑓′ d’une fonction 𝑓 dérivable sur ℝ.
À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :

1. Le sens de variation de la fonction 𝑓 sur ℝ.

2. La convexité de la fonction 𝑓 sur ℝ.