Spécialité Mathématiques Métropole Jour 2 Bac Général 2021

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Bac Général
Centre d’examen : Métropole
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2021
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée

Extrait :
Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
PARTIE I
Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 97 % des adresses ; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note 𝑋 la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que 𝑋 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 9 et 𝑝 = 0,03.

Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points)
On considère les suites (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) définies pour tout entier naturel 𝑛 par :
𝑢₀ = 𝑣₀ = 1
𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛 + 𝑣_𝑛
𝑣_𝑛+1 = 2𝑢_𝑛 + 𝑣_𝑛
Dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) sont strictement positives.

Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points) :
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (O; 𝑖⃗,𝑗⃗, 𝑘⃗⃗), on considère les points :
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).
L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle ABC.

Exercice A au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Fonction exponentielle ; dérivation.
Le graphique ci-contre représente, dans un repère orthogonal, les courbes 𝐶𝑓 et 𝐶𝑔 des fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 𝑥²e^−𝑥 et 𝑔(𝑥) = e^−𝑥.

Exercice B au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Fonction logarithme ; dérivation.
Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit 𝑔 la fonction définie sur ]0; +∞[ par : 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) + 2𝑥 − 2.

1. Déterminer les limites de 𝑔 en +∞ et 0.