Bac Général
Centre d’examen : Métropole
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2024
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 24-MATJ2ME1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 (5 points) :
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme « régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que 60% de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47% ont acheté la carte de fidélité.
Par ailleurs, parmi l’ensemble de tous les clients de la société, 38 % ont acheté la carte de fidélité.
On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants :
- 𝐹: « le client a acheté la carte de fidélité ».
- 𝑅: « le client est un client régulier » ;
Pour un événement 𝐸 quelconque, on note 𝐸̅ son événement contraire et 𝑃(𝐸) sa probabilité.
Exercice 2 (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ,𝑗⃗ , 𝑘⃗ ), on considère les points 𝐴(0; 4; −1), 𝐵(6; 1; 5) et 𝐶(6; −2; −1). On admet que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés.
Exercice 3 (5 points) :
Soit 𝑎 un nombre réel strictement supérieur à 1.
On considère la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = 𝑎 et, pour tout entier naturel 𝑛 :
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 2 − 2𝑢𝑛 + 2.
On admet que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 > 1.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la suite (𝑢𝑛) pour différentes valeurs du nombre réel 𝑎.
Exercice 4 (6 points) :
Soit 𝑓 une fonction définie et deux fois dérivable sur ℝ. On note 𝑓′ sa fonction dérivée et 𝑓′′ sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :
- la courbe représentative 𝐶𝑓 de la fonction 𝑓 ;
- la tangente 𝑇 à 𝐶𝑓 en son point 𝑁(0 ; 2) ;
- le point 𝑀 (−2 ; 0) appartenant à 𝐶𝑓 et 𝑃(2 ; 0) appartenant à la tangente 𝑇.
On précise que la fonction 𝑓 est strictement positive sur l’intervalle [0 ; +∞[ et qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle ] − ∞ ; −1] .