Bac Général
Centre d’examen : Métropole Candidat libre
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2021
Session : Remplacement
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 21-MATJ2ME3
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 commun à tous les candidats (4 points) :
Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).
Parmi ces courriels, 8% sont du « spam », c’est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu’il est souhaitable de ne pas ouvrir.
On choisit au hasard un courriel reçu par l’entreprise.
Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l’entreprise permettent d’affirmer que :
- La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que c’est un spam est égale à 0,9.
- La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que ce n’est pas un spam est égale à 0,01.
Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗,𝑗⃗, 𝑘⃗⃗), on considère les points 𝐴(1; 0; 2), 𝐵(2; 1; 0), 𝐶(0; 1; 2) et la droite ∆ dont une représentation paramétrique est : {
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = −2 + 𝑡
𝑧 = 4 − 𝑡
, 𝑡 ∈ 𝐑.
Exercice 3 commun à tous les candidats (6 points) :
Partie I
On considère la fonction 𝑓 définie sur R par 𝑓(𝑥) = 𝑥 − e−2𝑥.
On appelle Γ la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthonormé (O; ⃗⃗𝑖, ⃗⃗𝑗).
- Déterminer les limites de la fonction 𝑓 en −∞ et en +∞.
Exercice A au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Suites numériques ; raisonnement par récurrence.
On considère les suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) définies par :
𝑢0 = 16 ; 𝑣0 = 5;
et pour tout entier naturel 𝑛 :
$$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2v_n}{5}$$
$$v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$$
Exercice B au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Fonction logarithme, limites, dérivation.
Partie I
Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :
$$f(x) = \frac{2 \ln(x) – 1}{x}$$