Bac Général
Centre d’examen : Métropole Candidat libre
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2021
Session : Remplacement
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve :
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 commun à tous les candidats (4 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Le graphique ci-contre donne la représentation graphique Cf dans un repère
orthogonal d’une fonction f définie et dérivable sur R.
On notera f′la fonction dérivée de f .
On donne les points A de coordonnées (0; 5) et B de coordonnées (1; 20). Le point C est le point de la courbe Cf ayant pour abscisse −2,5 . La droite (AB) est la tangente à la courbe Cf au point A.
Les questions 1 à 3 se rapportent à cette même fonction f .
Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points) :
Soit f la fonction définie sur l’intervalle $$\left]-\frac{1}{3}~;~+\infty\right[$$
$$f(x) = \frac{4x}{1 + 3x}$$
On considère la suite (un) définie par : u0 =1/2
et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un).
Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points) :
Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d’une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le « crapaud accoucheur ».
Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.
Partie I : Effet de l’introduction d’une nouvelle espèce.
Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l’homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l’impact de cette introduction sur la population de crapauds accoucheurs d’un lac.
Ses études précédentes l’amènent à modéliser l’évolution de cette population en fonction du temps par la fonction f suivante :
f (t) =(0,04t2 −8t +400)et/50 +40 pour t ∈ [0 ; 120]
Exercice A au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé.
On considère le cube ABCDEFGH donné en annexe.
On donne trois points I, J et K vérifiant :
$$\overrightarrow{\text{EI}} = \frac{1}{4}\overrightarrow{\text{EH}},$$ $$\overrightarrow{\text{EJ}} = \frac{1}{4} \overrightarrow{\text{EF}}, $$ $$\overrightarrow{\text{BK}} = \frac{1}{4} \overrightarrow{\text{BF}}$$
Exercice B au choix du candidat (5 points) :
Principaux domaines abordés :
Fonction logarithme.
Partie I
On considère la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
$$h(x) = 1 + \frac{\ln (x)}{x}$$