Bac Général
Centre d’examen : Polynésie
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2024
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 24-MATJ1PO1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 (4 points) :
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.
Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗,𝑗⃗, 𝑘⃗⃗), on considère les points : 𝐴(2 ; 1 ; −1), 𝐵(−1 ; 2 ; 1) et 𝐶(5 ; 0 ; −3).
On note 𝒫 le plan d’équation cartésienne :
𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0.
On note 𝒟 la droite de représentation paramétrique :
𝑥 = −𝑡 + 3
𝑦 = 𝑡 + 2
𝑧 = 2𝑡 + 1
,𝑡 ∈ ℝ
Exercice 2 (5 points)
Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210°C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction 𝑓 donnant la température du matériau injecté en fonction du temps 𝑡. Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction 𝑓 cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où 𝑚 est une constante réelle que l’on cherche à déterminer :
(𝐸) ∶ 𝑦 ′ + 0,02𝑦 =m
Exercice 3 (5 points) :
Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.
Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
Exercice 4 (6 points) :
L’objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d’une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = 3 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ ∶
$$u_{n+1}=\frac{4}{5-u_{n}}$$