Bac Général
Centre d’examen : Polynésie
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2025
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 25-МАTJ1JA1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 (5 points) :
Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l’enfant aux États-Unis en 2020. L’étude, publiée dans la revue Clinical Pediatrics,
révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.
On sait qu’en 2020, 17% de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83% en zone urbaine.
L’étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2% qui sont atteints d’allergie alimentaire.
Pour un événement E quelconque, on note P(E) sa probabilité et Ē son événement contraire.
Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.
Exercice 2 (5 points)
Deux avions sont en approche d’un aéroport.
On munit l’espace d’un repère orthonormé $$(O\,;\, \vec{i},\, \vec{j},\, \vec{k})$$ dont l’origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan Po d’équation z = 0.
L’unité des axes correspond à 1 km.
On modélise les avions par des points.
Exercice 3 (5 points) :
On munit le plan d’un repère orthonormé.
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur [0 ;+∞[ par :
$$f_0(x) = e^{-x}$$
pour n≥1 $$f_n(x) = x^n e^{-x}$$
Pour tout entier naturel n, on note Cn la courbe représentative de la fonction fn.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Étude des fonctions fn pour n≥1
On considère un entier naturel n≥1n.
1. a. On admet que la fonction fn est dérivable sur [0 ;+∞[.
Montrer que, pour tout x≥0 :$$f_n'(x) = (n – x)\, x^{n-1} e^{-x}$$
Exercice 4 (5 points) :
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.
1. On considère l’équation différentielle (E):
$$y’ = \frac{1}{2}y + 4$$
Affirmation 1 :
Les solutions de (E) sont les fonctions f définies sur R par : $$f(x) = k e^{\frac{1}{2}x}-8, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}$$