Bac Général
Centre d’examen : Métropole
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2023
Session : Remplacement
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 23 – MATJ1ME3
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 (4 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question
ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par $$f(x) = x e^{x^2 – 3}$$
Exercice 2 (5 points)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗,𝑗⃗, 𝑘⃗⃗).
On considère les points 𝐴(1 ; 0 ; −1), 𝐵(3 ; −1 ; 2), 𝐶(2 ; −2 ; −1) et 𝐷(4 ; −1 ; −2).
On note ∆ la droite de représentation paramétrique
𝑥 = 0
𝑦 = 2 + 𝑡
𝑧 = −1 + 𝑡
, avec 𝑡 ∈ ℝ.
Exercice 3 (4 points) :
Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à 10-3 près.
Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.
Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
- Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas ;
- Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.
Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.
On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :
- 𝐴 l’événement « l’individu est allergique » ;
- 𝑇 l’événement « l’individu présente un test positif ».
Exercice 4 (7 points) :
PARTIE A
On définit sur l’intervalle ]0;+∞[la fonction g par : $$g(x) = \frac{2}{x} – \frac{1}{x^2} + \ln(x)$$
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction g est dérivable sur ]0;+∞[ et on note g’ sa fonction dérivée.