Spécialité Mathématiques Métropole Jour 2 Bac Général 2023

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Bac Général
Centre d’examen : Métropole
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2023
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 23-MATJ2ME1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée

Extrait :
Exercice 1 (5 points) :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie,
le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

• la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à 2/5 ;
• si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de 7/10 ;
• la probabilité que le joueur gagne la partie est de 12/25.

Exercice 2 (5 points)
Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.
Au début de l’étude la population est de 100 000 insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser 400 000.
Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire
L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de 60 % chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite (u_n) où, pour tout entier naturel n, u_n modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de n mois. On a donc u₀ = 0,1.

Exercice 3 (5 points) :
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$$, on considère :

• Le plan P₁ dont une équation cartésienne est : 2x + y – z + 2 = 0
• Le plan P₂ passant par le point B(1 ; 1 ; 2) et dont un vecteur normal est :

$$\overrightarrow{n’} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Exercice 4 (5 points) :
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=ln⁡(1+e^x) où ln⁡ désigne la fonction logarithme népérien.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé $$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).$$

La courbe C est tracée ci-dessous.