Bac Général
Centre d’examen : Polynésie
Matière : Spécialité Mathématiques
Année : 2023
Session : Normale
Durée de l’épreuve : 4 heures
Repère de l’épreuve : 23-MATJ1PO1
Calculatrice : mode examen ou « type collège » Autorisée
Extrait :
Exercice 1 (4 points) :
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :
•ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
• ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
Un sondage donne les résultats suivants :
• 21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, 68 % utilisent leur vélo
uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs
déplacements professionnels ;
• parmi les 35 ans ou plus, seuls 20 % utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.
Exercice 2 (5 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé $$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).$$
On considère :
- d1 la droite passant par le point H(2; 3; 0) et de vecteur directeur $$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ;$$
- d2 la droite de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x = 2k – 3 \\ y = k \\ z = 5 \end{cases} $$ où k décrit R.
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite Δ qui soit perpendiculaire aux droites d1 et d2.
Exercice 3 (5 points) :
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Affirmation : La fonction 𝑓 définie sur 𝐑 par 𝑓(𝑥) = e𝑥 − 𝑥 est convexe
Exercice 4 (6 points) :
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par 𝑢0 = −1 et, pour tout entier naturel 𝑛 :
𝑢𝑛+1 = 0,9𝑢𝑛 − 0,3.
1.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout 𝑛 ∊ 𝐍, 𝑢𝑛 = 2×0,9𝑛 − 3.
b. En déduire que pour tout 𝑛 ∊ 𝐍, −3 < 𝑢𝑛 ≤ −1.